Puntos y rectas notables del triángulo

Construcciones con circunferencias 

Teoremas clásicos

 Multiplicación de von Staudt

Algunas curvas famosas

Juegos

 (los puntos del índice son enlaces)

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Teorema de Euler

Teorema de Varignon

Teorema de Desargues

Mediatrices

Son las rectas cuyos puntos equidistan de los extremos de un segmento, en este caso un lado del triángulo (en la figura aparecen a trazos). Pues bien estas rectas se cortan en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo, llamado circuncentro por ser el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices (circunferencia circunscrita).

Actividades:

1. Dado un segmento construye su  mediatriz

2. Demuestra que el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo y por tanto que la circunferencia circunscrita pasa por ellos.

3. ¿Es siempre el circuncentro un punto interior al triángulo? ¿Cómo debe ser el triángulo en cada caso?

Como ayuda a las anteriores cuestiones (sólo si no te salen) puedes pinchar aquí: construcción

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Bisectrices

Son rectas que pasan por los vértices y dividen cada uno de los ángulos interiores del triángulo en dos partes iguales. También las tres bisectrices se cortan en un punto llamado incentro y es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo que se llama circunferencia inscrita.

Actividades:

1. Dado un ángulo construye su  bisectriz

2. Observa que  la circunferencia inscrita es tangente a los lados del triángulo. ¿Cómo determinarías estos puntos de tangencia?

3. ¿Es siempre el incentro un punto interior al triángulo? ¿Cómo debe ser el triángulo en cada caso?

Como ayuda a las anteriores cuestiones (sólo si no te salen) puedes pinchar aquí: construcción

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Alturas

Son las rectas perpendiculares desde cada vértice del triángulo al lado opuesto. Concurren en un punto llamado ortocentro.

Actividades:

1. ¿Es siempre el ortocentro un punto interior al triángulo? ¿Cómo debe ser el triángulo en cada caso?

Como ayuda a las anteriores cuestiones (sólo si no te salen) puedes pinchar aquí: construcción

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Medianas

Son las rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto llamado baricentro, que es el centro de gravedad, es decir, si tenemos un triángulo de un material de densidad uniforme, se mantendrá en equilibrio si lo suspendemos por este punto.

Actividades:

1. ¿Es siempre el baricentro un punto interior al triángulo? ¿Cómo debe ser el triángulo en cada caso?

2. El baricentro divide el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a él según una determinada relación. ¿Podrías encontrarla?

3. Como consecuencia de lo anterior podemos afirmar que las medianas de un trángulo se dividen una a otra en razón 2:1 o lo que es lo mismo las medianas de un triángulo se triseccionan unas a otras.

4. Comprueba que las medianas dividen al triángulo en seis triángulos de igual área.

Como ayuda a las anteriores cuestiones (sólo si no te salen) puedes pinchar aquí: construcción 

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Teorema de Euler (1.707-1.783)

El ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (P) de cualquier triángulo están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Euler.

Además el baricentro está a doble distancia del ortocentro que del circuncentro, es decir: GO/GP = 2.

Estos dos resultados tienen una demostración algo engorrosa, pero puedes apreciar visulamente la certeza de las anteriores afirmaciones si pinchas en el siguiente enlace: construcción

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Circunferencia de los 9 puntos 

(Poncelet, 1.788-1.867)

Los pies de las alturas de cualquier triángulo, los puntos medios de los tres lados y los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro, están todos en la misma circunferencia, llamada circunferencia de los 9 puntos de Poncelet. El centro de esta circunferencia está sobre la recta de Euler en el punto medio del ortocentro y el circuncentro y su radio es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.

Para apreciar una prueba visual de lo anterior pincha en este enlace: construcción

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Teorema de Napoleón (1.769-1.821)

Napoleón Bonaparte, además de ser uno de los militares más famosos de la historia, fue muy aficionado a las matemáticas, especialmente a la geometría. Se cuenta que se enzarzó en una discusión sobre matemáticas nada menos que con Lagrange y Laplace, dos de los mejores matemáticos de todos los tiempos y que éste último le dijo: "Lo último que esperamos de usted, General, es una lección de geometría"

El teoerma que lleva su nombre aunque se le atribuye a Napoleón, parece dudoso que lo enunciara y demostrara por su cuenta. Dice así:

Sobre los lados de un triángulo cualquiera construimos tres triángulos equiláteros exteriores de forma que uno de los lados de cada triángulo exterior coincide con el correspondiente lado del triángulo dado. Pues bien los centros de tales tres triángulos forman un triángulo equilátero MNP.

Para obtener una prueba visual puedes pinchar en este enlace: construcción

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Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Dado un punto P del plano y una circunferencia C, trazamos la recta r que pasa por P, que cortará a la circunferencia en los puntos A y A´. Pues bien el producto de las longitudes de los segmentos PA y PA´, llamado potencia de P respecto a C, es independiente de la recta elegida, es decir:

PAxPA´=constante

Y ahora, como siempre, vienen las preguntas:

1. ¿Se te ocurre alguna manera de demostrar que el producto anterior es constante? ¿Qué ocurre si la recta r es tangente a la circunferencia C?

Supón para empezar que P es exterior a C.

Pista: Piensa cómo se puede interpretar geométricamente el producto de dos magnitudes. ¿Tiene algo que ver con el concepto de área?

2. Si el punto P pertenece a la circunferencia C, ¿cuánto vale este producto? Y si P es interior, ¿qué signo tiene la potencia?

3. ¿Dónde debe estar P para que Pot(P,C) = OA²  , siendo O el centro y OA el radio de C.

Como siempre debes intentar encontrar las soluciones por ti mismo y sólo si ya no puedes esperar más pulsar en  solución 1 (cuestión 1) o en solución 2 (cuestiones 2 y 3).

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Teorema de la mariposa

Este curioso resultado se puede enunciar de la siguiente manera: 

Dada una cuerda PQ de una circunferencia, sea M su punto medio. Sean AB y CD otras dos cuerdas, de forma que ambas pasan por M. Si ahora trazamos las cuerdas AC y BD, éstas cortan en sendos puntos X e Y a la cuerda inicial PQ. Entonces M también es el punto medio del segmento XY.

El nombre del teorema como puede apreciarse en la figura proviene de la apariencia final (recuerda a las alas de una mariposa) que se produce al dibujar cada uno de los elementos que nos va exigiendo el enunciado.

La demostración de este hecho es bastante complicada, pero si quieres apreciar como el resultado es independiente de la cuerda elegida puedes entrar en este enlace para verlo de forma dinámica: animar.

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Teorema de Varignon (1.654-1.722)

Este teorema se refiere a construcciones que se pueden llevar a cabo sobre cuadriláteros y dice así:

Dado un cuadrilátero cualquiera de vértices A, B, C y D consideramos sobre sus lados los correspondientes puntos medios. Pues bien, entonces al unir los puntos medios de los lados adyacentes obtenemos un paralelogramo de vértices M, N, P y Q.

Pregunta: ¿Recuredas cuáles son las condiciones para que cuatro puntos formen un paralelogramo?

Para comprobar visualmente que lo anterior es cierto para culaquier cuadrilátero puedes pinchar en este enlace: animar.

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Teorema de Pappus (alrededor del año 300)

Sean r una recta dada y sobre ella consideramos tres puntos cualesquiera A, B y C.

Sea s otra recta y sean D, E y F tres puntos cualesquiera sobre ella.

Supongamos que AE corta a BD en el punto L, que AF corta a CD en el punto M y que BF corta a CE en el punto N.

Entonces los puntos L, M y N están alineados.

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Podemos ver al animar que el resultado es independiente de la situación de las rectas r y s y de los puntos elegidos sobre ellas. La demostración se escapa a los objetivos del actual trabajo.                                                                                                                          

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Teorema de Desargues (1.591-1.661)

Antes de enunciar el teorema que da nombre a este epígrafe quiero recordar un texto en el que Girard Desargues muestra su admiración hacia la geometría. Decía: "Confieso francamente que nunca he sentido gusto por el estudio o la investigación en física o en geometría, a no ser que pudieran servir como medio de llegar a algún tipo de conocimiento de las causas próximas... para el bien y la comodidad de la vida, el mantenimiento de la salud, la práctica de algún arte... pues he observado que una buena parte de las artes se basa en la geometría, como el de tallar la piedra en arquitectura, el de los relojes de sol, y el de la perspectiva en particular".

Pues bien relacionado con este último concepto, el teorema dice así:

Dados dos triángulo PQR y P'Q'R' tal que las rectas que unen P con P', Q con Q' y R con R' se cortan en un punto O (se dice en este caso que los triángulos dados están en perspectiva). Se consideran ahora los puntos de corte de las rectas que contienen a los lados correspondientes de ambos triángulos (lados homólogos), es decir: D, E y F puntos de corte de PQ con P'Q', QR con Q'R' y PR con P'R' respectivamente.

Entonces estos puntos D, E y F están alineados.  

El recíproco también es cierto, es decir: Si los tres pares de lados homólogos de dos triángulos se cortan en tres puntos alineados (D, E y F), entonces las rectas que unen los vértices homólogos se cortan en un punto O (o sea los triángulos están en perspectiva).

Si quieres ver este teorema en movimiento puedes pinchar aquí: animación.

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Teorema de Pascal (1.623-1.662)

Lo descubrió el matemático francés Blaise Pascal cuando sólo contaba con dieciséis años. Dada su belleza extraña fue llamado el teorema del hexagrama místico. Puede enunciarse así:

Si los seis vértices de un hexágono cualquiera están situados en una circunferencia (en general sobre una cónica) y las rectas que contienen a los tres pares de lados opuestos (AB-ED,  AF-CD y CD-EF) se  cortan (en los puntos P, Q y R respectivamente), entonces los tres puntos de intersección están alineados.

Observación: Si los lados opuestos del hexágono son paralelos los puntos P, Q y R están en la recta del infinito (recta que contiene a los puntos del infinito. Cada uno de éstos queda determinado por una dirección o conjunto de rectas paralelas en la geometría proyectiva).

Observación: El teorema de Pappus, que se refiere a tres puntos sobre dos rectas, es un caso particular del actual teorema de Pascal. Se refiere al caso en el que la cónica (que inscribe al hexágono) degenera en dos rectas, de forma análoga a como una hipérbola degenera en sus asíntotas. Para tener una visión dinámica de este hecho puedes pinchar en  animación.

El recíproco del teorema de Pascal es también cierto, es decir: Si un hexágono cualquiera es tal que los puntos de intersección de sus tres pares de lados opuestos están en línea recta, entonces sus vértices están sobre una cónica.

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Veremos aquí una interpretación geométrica de la multiplicación de dos números (y también de la división) debida a K.von Sataudt (1.798-1.867). 

Se trata de multiplicar los números x e y, representados en la figura por la longitud de los segmentos OX y OY. Utilizando la semejanza de triángulos (además del teorema de Thales) y un poco de imaginación intenta multiplicar (utilizando razonamientos geométricos) esas dos magnitudes. Si no lo consigues puedes pulsar aquí solución. 

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Cicloide

Esta es una de las curvas más familiares para ti, aunque no lo sepas. Veamos: casi todos hemos recorrido unos cuantos kilómetros en bicicleta. Y ahí precisamente  es donde puedes encontrar esta curva. 

Si sobre uno de los neumáticos de nuestra bicicleta pintamos un punto con tiza (en la figura el punto P) al girar la rueda este punto describe una curva (se dice lugar geométrico) llamada cicloide. Es la curva pintada en rojo en la figura. Si quieres ver cómo se genera pincha aquí  animación.

Si no crees que esto sea así puedes hacer el siguiente experimento para pintar tu propia cicloide: Recorta un círculo de unos 5 cm. de diámetro, haz una muesca sobre su borde para dibujar con un lápiz sobre ella, coloca el círculo de forma que sea tangente a una regla y hazlo rodar (pero sin que resbale) sobre la regla. La curva que has dibujado es una cicloide. 

El descubrimiento de la cicloide por parte del matemático holandés Christian Huygens (1.629-1.695) fue decisivo (como veremos) en el diseño del primer reloj de péndulo. Pero antes descubramos algunas de las propiedades sorprendentes de esta curva:

Cuestión 1: ¿Qué relación existe entre la longitud de un arco de cicloide y la longitud de la circunferencia que la ha generado?

Cuestión 2: Considera el área comprendida por un arco de cicloide y la recta sobre la que ha rodado el círculo para generarla. Considera el área de este círculo ¿Qué relación crees que existe entre estas dos áreas?

Para resolver las cuestiones anteriores sólo quiero que realices estimaciones de los resultados (ya que las deducciones rigurosas son complicadas) y que busques estrategias para realizar estas estimaciones . Para saber si tus intuiciones han sido las acertadas puedes comprobar aquí las soluciones. 

Cuestión 3: En la figura de la derecha dos puntos A y B acaban de iniciar su descenso hacia el punto C. El punto A lo hace recorriendo una línea recta, mientras que el punto B lo hace a través de un arco de cicloide. Se trata de adivinar qué punto llegará antes abajo A o B, o si lo harán a la vez. Si quieres salir de dudas, después de hacer tu hipótesis, puedes pulsar en el siguiente enlace solución. Quizás te sorprenda el resultado.

Cuestión 4: Aquí tienes otra situación en la que tenemos otro arco de cicloide y sobre ella hemos dibujado dos puntos A (en la parte más alta) y B en una posición intermedia. El punto P representa al punto más bajo de la curva. La cuestión ahora es la siguiente: si dejamos caer los puntos A y B, ¿cuál de ellos crees que llegará antes a la parte más baja del arco de cicloide, es decir, al punto P?, ¿o lo harán a la vez?. Después de hacer tus hipótesis puedes consultar el resultado pinchando en el siguiente enlace solución.

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Las cónicas fueron usadas en la antigua Grecia y fueron estudiadas por Apolonio de Pérgamo en el siglo III antes de nuestra era. Las obtuvo al cortar un cono de doble hoja por planos con distintas inclinaciones como puede apreciarse en la figura. La elipse y la parábola tienen una sóla hoja  por cada plano, mientras que la hipérbola consta de dos hojas.

Las cónicas son curvas muy familiares en nuestra vida diaria: por ejemplo nosotros viajamos con la Tierra (a una velocidad de unos 30 km./seg.) en una órbita en forma de elipse. Fue Kepler (1.571-1.630) quien demostró que los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol.

Pero estudiemos algunas de sus propiedades:

Recordando que lugar geométrico del plano es un conjunto de puntos de éste que cumplen una determinada propiedad, definamos las distintas cónicas:

 La eplipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F' llamados focos, es constante. 

Es  decir: PF + PF' = constante

Obtención de la eplipse:

Método del jardinero: Se puede trazar una elipse por medio de una cuerda fijando dos puntos como en la figura, con la cuerda tensa en todo momento.

Cuestiones: 

¿Qué tiene que ver el método del jardinero con la definición anterior de la eplipse?

¿A qué será igual la constante de la definición anterior?

solución

¿Qué ocurre si acercamos F' a F?, ¿y si lo alejamos?

¿Qué es la excentricidad de la elipse?

¿Cómo podemos obtener una circunferencia a partir de una elipse?

Antes de responder a estas tres últimas preguntas estudiemos otra cónica, la hipérbola, que como se verá, tiene mucho que ver con la elipse.

Método del jardinero

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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F' llamados focos, es constante (en valor absoluto). 

Es  decir: ôPF' - PFô= constante

Como antes podemos plantearnos lo siguiente:

¿A qué será igual la constante en la definición anterior de la hipérbola?

solución

¿Qué ocurre si acercamos F' a F?, ¿y si lo alejamos?

¿Qué es la excentricidad de la hipérbola?

¿Cómo podemos obtener una elipse a partir de una hipérbola y viceversa?

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La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto y una recta dados, llamados foco F y directriz.

Es decir, si nos fijamos en la figura adjunta todos los puntos que están sobre la curva pintada en rojo están a la misma distancia del punto F (foco) que de la recta (horizontal) llamada directriz.

Nota: La distancia de un punto a una recta es la menor de las distancias que se pueden obtener desde el punto dado a cada uno de los puntos de la recta. Es decir es la longitud del segmento perpendicular a la recta desde el punto dado.

La parábola es una curva importante en la navegación espacial, ya que muchas sondas o naves espaciales, así como cometas, recorren trayectorias parabólicas. 

Además tiene aplicaciones prácticas respecto a las cuales me gustaría que pensaras un poco. 

Imagina un rayo luminoso (semirecta perpendicular a la directriz que pasa por el punto P) que incida sobre una parábola . 

Cuestión: ¿Cuál crees que será la trayectoria de este rayo luminoso después de tocar la parábola?, ¿dónde irá a parar? ¿Les pasará lo mismo a todos ellos?

Si tienes una respuesta para la cuestión anterior, ¿le encuentras alguna utilidad?

Para salir de dudas puedes pinchar en el siguiente enlace denominado rayo luminoso.

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